国际数学家大会安排的讲座很多，但并不是所有的讲座陈颂都感兴趣，连续九天的时间每场讲座都去听他也没有这样好的精力。

这几天王志钟和潘钱并没有跟着他，而是跟着他们的老师宋教授一起，难得的机会来到这样的场合，能够听到大佬们的现场报告，他们当然也不会放过，虽然他们现在很难跟上大佬们的思路，经常大佬们讲着讲着他们虽然没有漏掉任何一个字，却已经完全听不懂了，但他们依然把所有的内容全部记了下来。

而陈颂一个人带着伍凡他们到处听讲座，大会发的小本子已经被他写满了，不过他自己也带了备用的笔记本，换一本本子就能继续奋笔疾书。

和王志钟他们纯粹就是照抄大佬讲的内容不同，陈颂会选择其中的核心重点，以及能够引起他兴趣的部分记下来，并且添加上自己的想法，以及可以引申和使用的方向。

而在他自己的报告开始之前，他还去听了一场加兰教授的两小时报告。

加兰教授作为当今最负盛名的数学家之一，同样是研究数论问题的，并且已经在这个领域取得了很多的成就。

而他现在正在研究的问题同样是素数的问题，大名鼎鼎的黎曼猜想。

著名数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”

而素数问题，就是数论的核心，可以称之为数论的皇冠，黎曼猜想则是皇冠上最耀眼的那颗明珠。

可能很多人都听说过黎曼猜想，但很少有人知道，黎曼猜想到底是什么。

说起来也非常简单，一句话就可以概括，即黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2。

只看这句话，大家可能会莫名其妙，黎曼ζ函数是什么？非平凡零点又是什么？

而如果要从头介绍黎曼猜想，就要从数学家们对素数的研究说起了。

之前介绍孪生素数猜想的时候，我们已经说过了什么是素数，而古往今来，数学家从来没有停止过对素数的研究。

前文提到过的卡塔兰猜想、皮莱猜想、孪生素数猜想，还有大家耳熟能详的哥德巴赫猜想，全都是对素数分布规律的研究。

众所周知，素数有无穷多个，我们也可以计算出有限个素数，但是当一个数足够大的时候，想要计算出它是不是素数，将会是一件比较困难的事情，我们并没有一个通用的公式可以用来确定一个数是否是素数。

而如果能够找出这个通项公式，那么所有关于素数的问题，都将迎刃而解。

曾经也有许多数学家研究过这个问题，并且提出了一些素数的通项公式，其中不乏包括欧拉、费马之类的著名数学家，但所有这些通项公式最后都被证明是错误的。

目前人类已知的最大素数是2^77232917-1，这是一个梅森素数，在2017年由“互联网梅森素数搜索”项目发现，这是一个全球合作的项目。

至于什么是梅森素数，这也是一个相对复杂的问题，这里暂时不详细说明，可以简单的理解为梅森素数是一类特殊的素数。

而在发现了无法找到可以表达所有素数的通项公式之后，数学家们转而去研究另外一个问题，是否可以知道一个固定的范围内的素数有多少个？

比如说，我们现在都知道，十以内的素数有4个，那么我们能不能通过一个公式计算出20以内，100以内，1000内，乃至于一千万以内或者更大范围内的素数有多少个呢？

而计算这个一定范围内素数数量的表达式，被称为素数计算函数。

在这里里，我们就必须介绍一个伟大的德国数学家格奥尔格 弗雷德里希 波恩哈德 黎曼，他是黎曼几何学的创始人，同时还是复变函数论的创始人之一。

在1859年，黎曼提交了他的唯一一篇数论论文，这也是他唯一一篇没有几何概念的论文，论文的题目就叫做《论小于一个给定值的素数的个数》。

就和论文的标题一样，这这篇只有九页的论文里，黎曼直接给出了素数计算函数的准确表达式，只是他的论文过于简略，并没有明确证明过程，以至于即便到了今天，我们也只是证明出了其中的一小部分内容。

更令人遗憾的是，1866年，年仅40岁的天才数学家黎曼就因为肺结核去世了。

否则，也许黎曼猜想在今天，早已不是猜想了。

黎曼给出的表达式π（x）由两部分组成，一部分是J（x），这就是黎曼给出的素数计算函数，由这个函数可以计算出一个π（x）的近似值。

另外一部分是对J（x）的修正项，μ（n）/n。

通过修正项的修正之后，所得到的数值就是准确的π（x）的值了。

但说到这里，仿佛还是没有提到前面说的两个问题，黎曼ζ函数和它的非平凡零点。

接下来我们首先说一下黎曼ζ函数，它可以表示为ζ（s），之所以用这个函数是在复数域上的函数，复数域函数的自变量用s而不是x来表示。

至于什么是复数，如果再扩展来讲，那就真的太浪费篇幅了，这里略过不提。